Carte jeune - Corrigé

Énoncé

La mairie d'une ville propose une carte jeune annuelle donnant droit à des réductions sur les activités culturelles et de loisirs. La mairie espère que, dans l'avenir, au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèderont la carte, et si oui elle voudrait savoir en quelle année cela se produira.

Ces dernières années, lors du renouvellement de la carte, on a constaté que 10 % des possesseurs de la carte ne la rachètent pas. Dans le même temps, 30 % de la population des 12-18 ans qui ne la possédaient pas l'année précédente achètent la carte. On fait l'hypothèse que l'effectif de la population des 12-18 ans est constant et que l'évolution va rester la même pour les prochaines années.

En 2018, 80 % des jeunes de 12-18 ans ne possédaient pas la carte.

On note, pour tout entier naturel  \(n\) ,  \(a_n\) , la part de la population des 12-18 ans de la ville possédant la carte l'année  \(2018+n\) , et  \(b_n\)  la part de la population des 12-18 ans ne la possédant pas.

Partie A

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets A et B, où le sommet A représente l'état « posséder une carte jeune » et B l'état « ne pas posséder une carte jeune ».

2. Déterminer la matrice de transition  \(T\)  de ce graphe en respectant l'ordre A puis B des sommets.

3. a. Vérifier que  \(a_2=0,552\)  et  \(b_2=0,448\) .
    b. Interpréter le coefficient  \(0,552\)  dans le contexte de l'énoncé.

4. On note  \(a\)  et  \(b\)  les coefficients de la matrice  \(P\) correspondant à l'état stable de ce graphe.
    a. Montrer que les nombres  \(a\)  et  \(b\)  sont solutions du système  \(\begin{cases}-0,1a+0,3b=0\\a+b=1\end{cases}\) .
    b. Justifier que la mairie peut espérer qu'à l'avenir au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèdent la carte.

Partie B

On admet que, pour tout entier naturel  \(n, a_{n+1}=0,6a_n+0,3,\)  et que la suite  \((a_n)_n\in\mathbb{N}\)  est croissante.

1. Écrire un programme Python qui permet de calculer le nombre d'années nécessaires à la mairie pour atteindre son objectif qu'au moins 70 % de la population des 12-18 ans possèderont la carte.

2. En quelle année l'objectif sera-t-il atteint ?

D'après bac ES, Antilles-Guyane 2019

Solution

Partie A

1. 

2. La matrice de transition est  \(T=\begin{pmatrix} 0,9&0,1\\0,3&0,7\end{pmatrix}\) .

3. a. Si on pose  \(P_n=\begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}\) , la suite \((P_n)_n\in\mathbb{N}\)  définie par  \(P_0=\begin{pmatrix}0,2&0,8\end{pmatrix}\)  et  \(P_{n+1}=P_nT\)  est une chaîne de Markov.
On a donc  \(P_2=P_0T^2\) , ce qui permet de calculer  \(a_2=0,552\)  et  \(b_2=0,448\) .

    b.  \(a_2=0,552\)  représente la proportion de jeunes de 12-18 ans qui possèdent la carte l'année  \(2018+2=2020\) .

4. a. D'une part,  \(P\)  est une distribution de probabilités donc  \(a+b=1\)  ; d'autre part,  \(P\)  est une distribution invariante donc  \(PT=P\) .
\(a\)  et  \(b\)  sont donc solutions du système  \(\begin{cases}0,9a+0,3b=a\\0,1a+0,7b=b\\a+b=1, a\in[0;1], b\in[0 ;1]\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}-0,1a+0,3b=0\\0,1a+0,7b=b\\a+b=1, a\in[0;1], b\in[0 ;1]\end{cases}\)
donc ils sont solutions de  \(\begin{cases}-0,1a+0,3b=0\\a+b=1\end{cases}\) .

    b. La résolution du système précédent donne  \(\begin{cases}a=0,75\\b=0,25\end{cases}\)  donc, sur le long terme, la chaîne de Markov va se stabiliser sur  \(P=\begin{pmatrix}0,75&0,25\end{pmatrix}\) , ce qui montre qu'on va atteindre et même dépasser les 70 % de la population des 12-18 ans qui possèdent la carte.

Partie B

1. Voici un programme Python possible 

2. Le programme précédent renvoie  \(N=5\) , c'est donc à partir de  \(2018+5=2023\) que l'objectif est atteint.